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常见导数公式: ① C'=0(C 为常数函数); ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*); ③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx ⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln 为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln 为自然对数) (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0 且 a 不等于 1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 另外就是复合函数的求导: ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 后面这些高中用不到,但是多掌握点遇到时就可以直接写出来,不用再换算成 常见函数来求解, (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) 1、x→0,sin(x)/x →1 2、x→0,(1 + x)^(1/x)→e x→∞ ,(1 + 1/x)^(1/x) → 1 (其中 e≈2.7182818... 是一个无理数)

函数极限的运算法则 设 lim f(x) ,lim g(x)存在,且令 lim f(x) =A, lim g(x)=B,则有以下 运算法则, 线性运算 加减: lim ( f(x) ± g(x) )= A ± B 数乘: lim( c* f(x))= c * A (其中 c 是一个常数) 非线性运算 乘除: lim( f(x) * g(x))= A * B lim( f(x) / g(x)) = A / B ( 其中 B≠0 ) 幂: lim( f(x) ) ^n = A ^ n 导数公式及证明 这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程(初等函数可由之运算来): 1.y=c(c 为常数) y'=0 2 幂函数.y=x^n, y'=nx^(n-1) (n∈Q*) 熟记 1/X 的导数 3.(1)y=a^x ,y'=a^xlna ;(2)熟记 y=e^x y'=e^x 唯一一个导函数为本身 的函数 4.(1)y=logaX, y'=1/xlna (a>0 且 a 不等于 1,x>0) ;熟记 y=lnx ,y'=1/x 5.y=(sinx y)'=cosx 6.y=(cosx y)'=-sinx 7.y=(tanx y)'=1/(cosx)^2 8.y=(cotx y)'=-1/(sinx)^2 9.y=(arcsinx y)'=1/√1-x^2 10.y=(arccos y)'=-1/√1-x^2 11.y=(arctanx y)'=1/(1+x^2) 12.y=(arccotx y)'=-1/(1+x^2) 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到: 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中 g(x)看作整个变量,而 g'(x)中把 x 看作变量』

2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3. 原函数与反函数导数关系(由三角函数导数推反三角函数的):y=f(x) 的反函数是 x=g(y),则有 y'=1/x' 证:1.显而易见,y=c 是一条平行于 x 轴的直线,所以处处的切线都是平行 于 x 的,故斜率为 0。

用导数的定义做也是一样的: y=c,Δ y=c-c=0,limΔ x→0Δ y/Δ x=0。

2.这个的推导暂且不证, 因为如果根据导数的定义来推导的话就不能到 n 为任意实数的一般情况,只能证其为整数 Q。

主要应用导数定义与 N 次方差公 式。

在得到 y=e^x y'=e^x 和 y=lnx y'=1/x 这两个结果后能用复合函数的求导 给予证明。

3.y=a^x, Δ y=a^(x+Δ x)-a^x=a^x(a^Δ x-1) Δ y/Δ x=a^x(a^Δ x-1)/Δ x 如果直接令 Δ x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数 β = a^Δ x-1 通过换元进行计算。

由设的辅助函数可以知道:Δ x=loga(1+β )。

所以(a^Δ x-1)/Δ x=β /loga(1+β )=1/loga(1+β )^1/β 显然,当 Δ x→0 时,β 也是趋向于 0 的。

而 limβ →0(1+β )^1/β =e,所以 limβ →01/loga(1+β )^1/β =1/logae=lna。

把这个结果代入 limΔ x→0Δ y/Δ x=limΔ x→0a^x(a^Δ x-1)/Δ x 后得到 limΔ x→0Δ y/Δ x=a^xlna。

可以知道,当 a=e 时有 y=e^x y'=e^x。

4.y=logax Δ y=loga(x+Δ x)-logax=loga(x+Δ x)/x=loga[(1+Δ x/x)^x]/x Δ y/Δ x=loga[(1+Δ x/x)^(x/Δ x)]/x 因为当 Δ x→0 时,Δ x/x 趋向于 0 而 x/Δ x 趋向于∞,所以 limΔ x→0loga(1+Δ x/x)^(x/Δ x)=logae,所以有 limΔ x→0Δ y/Δ x=logae/x。

也可以进一步用换底公式 limΔ x→0Δ y/Δ x=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道,当 a=e 时有 y=lnx y'=1/x。

这时可以进行 y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。

因为 y=x^n,所以 y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以 y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。

5.y=sinx Δ y=sin(x+Δ x)-sinx=2cos(x+Δ x/2)sin(Δ x/2) Δ y/Δ x=2cos(x+Δ x/2)sin(Δ x/2)/Δ x=cos(x+Δ x/2)sin(Δ x/2)/(Δ x/2) 所以 limΔ x→0Δ y/Δ x=limΔ x→0cos(x+Δ x/2)·limΔ x→0sin(Δ x/2)/(Δ x/2)=c osx 6.类似地,可以导出 y=cosx y'=-sinx。

7.y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8.y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9.y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10.y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11.y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12.y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数 shx,chx,thx 等以及反双曲函数 arshx,archx,arthx 等和 其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u 土 v,y'=u'土 v' 5.y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。

对于 y=x^n y'=nx^(n-1) ,y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导2017最新注册送金娱乐网。

y=x^n 由指数函数定义可知,y>0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对 x 求导,注意 y 是 y 对 x 的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理可证 导数说白了它其实就是曲线一点斜率,函数值的变化率 上面说的分母趋于零,这是当然的了,但不要忘了分子也是可能趋于零的,所 以两者的比就有可能是某一个数,如果分子趋于某一个数,而不是零的话,那么比 值会很大,可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在. x/x,若这里让 X 趋于零的话,分母是趋于零了,但它们的比值是 1,所以极限 为 1. 建议先去搞懂什么是极限.极限是一个可望不可及的概念,可以很接近它, 但永远到不了那个岸. 并且要认识到导数是一个比值.

三角函数公式: 现列出公式如下: sin2α =2sinα cosα tan2α =2tanα /(1-tan^2(α )) cos2α =cos^2(α )-sin^2(α )=2cos^2(α )-1=1-2sin^2(α ) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。

三倍角公式 sin3α =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =4cos^3(α )-3cosα tan3α =tan(α )*(-3+tan(α )^2)/(-1+3*tan(α )^2) 半角公式 sin^2(α /2)=(1-cosα )/2 cos^2(α /2)=(1+cosα )/2 tan^2(α /2)=(1-cosα )/(1+cosα ) tan(α /2)=sinα /(1+cosα )=(1-cosα )/sinα 万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+tan^2(α /2)] cosα =[1-tan^2(α /2)]/[1+tan^2(α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan^2(α /2)] 积化和差公式 sinα cosα cosα sinα ·cosβ ·sinβ ·cosβ ·sinβ =(1/2)[sin(α +β )+sin(α -β )] =(1/2)[sin(α +β )-sin(α -β )] =(1/2)[cos(α +β )+cos(α -β )] =-(1/2)[cos(α +β )-cos(α -β )] 和差化积公式 sinα +sinβ =2sin[(α +β )/2]cos[(α -β )/2] sinα -sinβ =2cos[(α +β )/2]sin[(α -β )/2] cosα +cosβ =2cos[(α +β )/2]cos[(α -β )/2]

cosα -cosβ =-2sin[(α +β )/2]sin[(α -β )/2] 其他 sinα +sin(α +2π /n)+sin(α +2π *2/n)+sin(α +2π *3/n)+……+sin[α +2π *( n-1)/n]=0 cosα +cos(α +2π /n)+cos(α +2π *2/n)+cos(α +2π *3/n)+……+cos[α +2π *( n-1)/n]=0 以及 sin^2(α )+sin^2(α -2π /3)+sin^2(α +2π /3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 ① C'=0(C 为常数函数); ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟记 1/X 的导数 ③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln 为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln 为自然对数) (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0 且 a 不等于 1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)

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