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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I) 文科数学 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

(1) 已知集合 M  {x | 1  x  3} , N  {x | 2  x  1} ,则 M I N  A. (2,1) (2)若 tan   0 ,则 A. sin 2  0 (3)设 z  B. cos   0 C. sin   0 D. cos 2  0 B. (1,1) C. (1,3) D. (2,3) 1  i ,则 | z | 1 i B. A. 1 2 2 2 C. 3 2 D. 2 x2 y2 (4)已知双曲线 2   1(a  0) 的离心率为 2,则 a  a 3 A. 2 B. 6 2 C. 5 2 D. 1 (5)设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中 正确的是 A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数 (6)设 D, E , F 分别为 ABC 的三边 BC , CA, AB 的中点,则 EB  FC  A. AD B. 1 AD 2 C. 1 BC 2 D. BC (7)在函数① y  cos | 2 x | ,② y | cos x | ,③ y  cos(2 x  最小正周期为  的所有函数为 A.① ② ③ B. ① ③ ④  ) ,④ y  tan(2 x  ) 中, 6 4 D. ① ③  C. ② ④

8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一 个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 9.执行右面的程序框图,若输入的 a , b, k 分别为 1,2,3,则 输出的 M  ( A. ) C. 20 3 B. 7 2 16 5 D. 15 8 10.已知抛物线 C: y 2  x 的焦点为 F , A 上一点, A F  A. 1 x , y 是 C 0 0 5 ,则 x0  ( 4 x0 C. 4 D. 8 ) B. 2 (11)设 x , y 满 足 约 束 条 件   x  y  a, 且  x  y  1, z  x  ay 的最小值为 7,则 a  (A)-5 (C)-5 或 3 3 2 (B)3 (D)5 或-3 (12)已知函数 f ( x)  ax  3 x  1 ,若 f ( x) 存在唯 一的零点 x0 ,且 x0  0 ,则 a 的取值范围是 (A)  2,   (B)(C)  , 2  (B) 1,   (D)  , 1 第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13) 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率 为________. (14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、 C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________. e x 1 , x  1,  (15)设函数 f  x    1 则使得 f  x   2 成立的 x 的取值范围是________. 3   x , x  1, (16) 如图, 为测量山高 MN , 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M

点 的 仰 角 MAN  60 , C 点 的 仰 角 CAB  45 以 及 MAC  75 ; 从 C 点 测 得 MCA  60 .已知山高 BC  100m ,则山高 MN  ________ m . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知 an  是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x 2  5 x  6  0 的根。

(I)求 an  的通项公式; (II)求数列   an  的前 n 项和. n  2  (18)(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表 得如下频数分布表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8 (I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表) ; (III)根据以上抽样数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低 于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定? 19(本题满分12分) 如图, 三棱柱 ABC  A1 B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O , 且 AO  平 面 BB1C1C . (1)证明: B1C  AB; (2)若 AC  AB1 , CBB1  60 , BC  1, 求三棱柱 ABC  A1 B1C1 的高.

20.(本小题满分 12 分) 已知点 P (2,2) , 圆C : x  y  8y  0 , 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点, 线段 AB 2 2 的中点为 M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP  OM 时,求 l 的方程及 POM 的面积 21(12 分) 设函数 f  x   a ln x  为0 (1)求 b; (2)若存在 x0  1, 使得 f  x0   1 a 2 x  bx  a  1 ,曲线 y  f  x  在点 1,f 1  处的切线斜率 2 a ,求 a 的取值范围。

a 1 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答 时请写清题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E , 且 CB  CE . (I)证明: D  E ; (II)设 AD 不是 O 的直径, AD 的中点为 M ,且 MB  MC ,证明: ABC 为等 边三角形. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 x  2  t x2 y2   1 ,直线 l :  已知曲线 C : ( t 为参数) 4 9  y  2  2t (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 a  0, b  0, 且 1 1   ab a b (I)求 a 3  b 3 的最小值; (II)是否存在 a, b ,使得 2a  3b  6 ?并说明理由.

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