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高三数学(理科)试题 2016.3 一、选择题(50 分) 1、已知复数 z 满足 z  ,则复数 z 的共轭复数在复平面内所对应的点的坐 i  1  i (i 是虚数单位) 标为 A、 (1,1) B、 (-1,-1) C、 (1,-1) D、 (-1,1) 2 2、若全集 U=R,集合 A= x | x  x  2  0 ,B= x | log3 (2  x)  1 ,则 A  (CU B) =   A、 x | x  2 C、 x | x  2 B、 x | x  1或x  2    D、 x | x  1或x  2  3、已知 p: “直线 l 的倾斜角   A、充分不必要条件 C、充要条件  4 ” ;q: “直线 l 的斜率 k>1” ,则 p 是 q 的 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 4、不等式 | x  1|  | x  5 | 4 的解集为 A、 (-  ,4) B、 (-  ,-4) C、 (4,+  ) D、 (-4,+  ) 5、为了增强环保意识,某校从男生中随机制取了 60 人,从女生中随机制取了 50 人参加环保知 识测试,数据如下表所示: 则有( )的把握认为环保知识是否优秀与性别有关。

A、90% B、95% C、99% B、99.9% 6、函数 y  2x 的图象大致为 ln | x | 7、已知双曲线与椭圆 14 x2 y 2   1 的焦点重合,它们的离心率之和为 ,则双曲线的渐近线方 5 25 9

程为 A、 y   3 x 3 B、 y   5 x 3 C、 y   3 x 5 D、 y   3x 8、已知点 A(-2,0) ,B(2, ) ,若圆 ( x  3)2  y 2  r 2 (r  0) 上存在点 P(不同于点 A,B)使 得 PA⊥PB,则实数 r 的取值范围是 A、 (1,5) B、 [1,5] C、 (1,3] 9、运行如图所示的程序框图,则输出的结果是 A、 e B、 e C、 e 2016 D、 [3,5]  e2015  e2016 1 1 2017 2015 D、 e 2016 10、 f ( x ) 是定义在(0,+  )上单调函数,且对 x  (0, ) ,都有 f ( f ( x)  ln x)  e  1 ,则方程 f ( x)  f '( x)  e 的实数解所在的区间是 A、 (0, 1 ) e B、 ( 1 ,1) e C、 (1,e) D、 (e,3) 二、填空题(25 分) 11、已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60°, c  ta  b, d  a  tb, 若 c  d ,则正实数 t= 12、某三棱锥的三视图如图所示,其侧(左)视图为直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积 为             y  x  13、已知 x , y 满足  x  y  2 ,且 z  2 x  y 的最大值是最小值的-2 倍,则 a 的值是 x  a  14、 ( x  x  1)(1  x) 展开式中 x 的系数为__ 2 4 2 15、若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P、Q 关于

原点对称,则对称点(P,Q)是函数 y=f(x)的一个“伙伴点组” (点对(P,Q)与(Q,P) 看作同一个“伙伴点组” ) .则下列函数中,恰有两个“伙伴点组”的函数是___(填空写所 有正确选项的序号) 三、解答题 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x)  2 3 sin x 2 cos x 2  2sin 2 x 2 (  0) 的最小正周期为 3  。

(I)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; ( II )在Δ ABC 中, a, b, c 分别为角 A , B, C 所对的边, a  b  c , 3a  2c sin A ,并且 3  11 f ( A  )  ,求 cosB 的值。

2 2 13 17、 (本小题满分 12 分) 连续抛掷同一颗均匀的骰子,令第 i 次得到的点数为 a1 ,若存在正整数 k ,使 a1  a2      ak  6 ,则称 k 为你的幸福数字. (1)求你的幸运数字为 3 的概率; (2)若 k  1 ,则你的得分为 5 分;若 k  2 ,则你的得分为 3 分;若 k  3 ,则你的得分为 1 分;若抛掷三次还没找到你的幸福数字则记 0 分,求得分 X 的分布列和数学期望. 18、 (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,△ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 PA=4,AB=4 3 ,∠CDA=120°,点 N 在线段 PB 上,且 PN=2。

(I)求证:BD⊥PC; (II)求证:MN∥平面 PDC; (III)求二面角 A-PC-B 的余弦值。

19、 (本小题满分 12 分) 已知数列 an  满足 a1  2a2  3a3   nan  n(n  N*) 。

(Ⅰ)求数列 an  的通项公式 an ; (Ⅱ)令 bn 2 1 an  1 a2 n 1 (n  N *), Tn  b1  b2    bn ,写出 Tn 关于 n 的表达式,并求满足 Tn > 5 时 n 的取值范围。

2 20、 (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x)  ln x  1 2 ax  bx(a  0), f '(1)  0. 2 1 2 2 (I)用含 a 的式子表示 b; (II)令 F(x)= f (x)  ax bx  a (0 x  3) ,其图象上任意一点 P ( x0 , y0 ) 处切线的斜率 x k 1 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 (III)若 a =2,试求 f ( x ) 在区间 [c, c  ](c  0) 上的最大值。

1 2 21、 (本小题满分 14 分) 已知抛物线 E: y  2 px( p  0) 的准线与 x 轴交于点 K, 过点 K 作圆 ( x  5)  y  9 的两条切 2 2 2 线,切点为 M,N,|MN|=3 3 (I)求抛物线 E 的方程; OB  (其中 O 为坐标原点) (II) 设 A, B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点, 且 OA 。

(1)求证:直线 AB 必过定点,并求出该定点 Q 的坐标; (2)过点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G,D 两点,求四边形 AGBD 面积的最小值。

    9 4

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